高等数学学习笔记

高等数学学习笔记

Part 1: 极限

  • 设函数f(x)在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数 \(δ\) ,使得对于 \[0<|x-x_0|<δ\] ,均有 \[f(x)-A<ε\]

  • 那么常数A就叫做函数f(x)当时 \(x→x_0\) 的极限,记作

\[ \lim_{x\to x_0}f(x) = A \]

夹逼定理

在求函数 \(f(x)\) 的极限时,可以通过两个函数夹它

举例: \(\lim_{x\to 0}\frac{sum(x)}x = 1\)

易知 \(sin(x) < x < tan(x)\) , 得 \(cos(x) < \frac{sin(x)}x < 1\)

因为 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} cos(x) = 1,1=1\) , 所以原式得证

Part 2: 导数

  • 斜率:对于一次函数 \(y=kx+b\) 斜率即为k。

  • 导数:通俗的说函数在一点的导数为在该处做切线,所得直线的斜率

\[ \large{f'(x_0)=\lim_{\delta x \to 0}}\frac{f(x_0+\delta x) - f(x_0)}{\delta x} \]

  • 也可记做 \(\frac{dy}{dx}\)

  • 将原函数y(x)每个点的导数全部算出后形成一个新的函数叫做原函数的导函数 \(y'(x)\)

  • 高阶导记作 \(f^{(n)}\)

可导: 从左侧与右侧趋近极限相同时才可定义导数

导数表:

导数与函数单调性

众所周知, 导数和函数单调性有着不可分割的关系

  • 一阶导数描述增减, 一阶导等于零时, 原函数处于区间最值
  • 二阶导数描述一阶导数增减, 描述原函数的凹凸性

导数公式

四则运算:

\[ (u \pm v)' = u' \pm v'\\(uv)'= u'v + v'u\\(\frac uv)'=\frac{(u'v-v'u)}{v^2}\\(C \cdot f(x))'=C \cdot f'(x) \\(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

求导练习题

  • \((2x^2-3ln(x))' = 4x-\frac 3x\)
  • \(((x^2+1)(x +2))' = (x^2+1)(1)+(2x)(x+2)=3x^2+4x+1\)
  • \((sin(3x+2))'=sin'(3x+2)(3x)=3x\cdot cos(3x+2)\)

Part 3: 洛必达法则:

\(f(x)\)\(g(x)\) 在a点处为零

\[ \large{\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}} \]

洛必达法则可以多次使用, 即多次求导

Part4: 自然对数e:

\[ \large{e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac1n)^n=2.718281828459\cdots} \]

奇妙的性质:

\[ f(x) = e^x~~~f'(x) = e^x\\f(x) =ln~x ~~~f'(x)=\frac 1x \]

Part5: 寻找方程的根: 牛顿迭代法

找方程的根首先我们可以随机两个点, 使用勘根定理, 如果 \(f(a)\cdot f(b) \leq 0\) 则在区间 \([a, b]\) 内二分.

但是我们可能并不能很好的找到根所在的区间, 于是牛顿迭代法应运而生

求解方程 \(f(x)=0\) , 随机一个初始点

  • 对于当前点x,做切线(求导),计算与x轴交点作为下一轮迭代的x

  • 可得 \(x_{next}=x-\frac{f(x)}{f’(x)}\)

  • \(f(x)<eps\) 时终止,对于大部分函数有效(反例 \(y=\frac1x 或~y=\sqrt {|x|}\) )

Part6: 定积分

  • 求函数 \([a,b]\) 区间里的有向面积,在x轴上方为正,x轴下方为负。

  • 极限法:将区域切成无数细长条,每一长条用矩形面积 \(f(x)*dx\) 近似

\[ S = \int_a^bf(x)dx \\=\lim_{n \to \infty}\sum_{0<k\leq n}f(x_{k-1})*(x_k-x_{k-1})\\=\lim_{n \to \infty}\sum_{0<k\leq n}f(x_{k})*(x_k-x_{k-1}) \]

例: 求定积分 \(\int_0^cx^2dx= \displaystyle \lim_{n \to \infty}x_k^2dx\)

\[ 原式=\lim_{n \to \infty}(\frac{ck}n)^2(\frac cn)\\=\lim_{n \to \infty}(\frac{c^3}{n^3})\sum_{0 \leq k<n}k^2\\=\lim_{n \to \infty}\large{(\frac{c^3(2n^3-3n^2+n)}{6n^3})}\\=\frac {c^3}3 \]

一般形式: \(\displaystyle \int_0^cx^ndx=\frac{c^{n+1}}{n+1}\)

积分与微分

积分与微分可以感性的理解为升维与降维, 所以它们天生有着妙不可言的关系:

\[ f'(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{0 \leq k < n}f(x_k)'dx\\=\lim_{n \to \infty}\sum_{0 \leq k < n}\large{\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{(x_{k+1}-x_k)}(x_{k+1}-x_k)}\\=\lim_{n \to \infty}\sum_{0 \leq k < n}f(x_{k+1})-f(x_k)\\=\lim_{n \to \infty}f(x_{n-1})-f(x_0)=f(b)-f(a) \]

积分与无穷向量

对于一个函数 \(f(x)\) 可以理解为一个无穷维的向量,每个点的函数值是一个维度,那么两个函数 \(f(x)\)\(g(x)\) 的内积就可以理解为 \(\int f(x)g(x)dx\)

Part 7: 自适应Simpson积分法

前置:求二次函数区间内的有向面积;

  • 见定积分基本内容

二次函数拟合积分法:

\[ \int^b_af(x)dx \approx \frac{b-a}6(f(a)+4f(\frac{a+b}2)+f(b) \]

可以使用自适应法控制精度问题

inline double simpson(double a, double b) {
    return (b - a) * (f(a) + f(b) + 4 * (f(((a+b)/2)))) / 6;
}

double eps = 1e-6;
double solve(double l, double r, double A, double eps) {
    double mid = (l + r) / 2;
    double L = simpson(l, mid), R = simpson(mid, r);
    if (fabs(L+R-A) <= 15 * eps) return L + R + (L+R-A) / 15.0;
    return solve(l, mid, L, eps / 2) + solve(mid, r, R, eps / 2);
}

应用: 在求解计算几何中的面积问题时

可以建立坐标系, 将面积化为一个函数, 求圆等圆滑的图形, 函数是平滑的, 但积分法无法解决一段函数全为零的情况, 所以提前判断有值的两端端点进行积分

Part8:函数最优化

给定多元函数 \(f(x) \to R\) , 求f(x)最小值

爬山法, 随机方向, 随机步长, 只向更优解走

如果函数存在导数, 有更好的方法, 如 \(f(x)=sin(x_1)cos(x_2)\)

求偏导:相当于定住其他变量, 求单一变量的导数

  • 对于二元函数 \(f(x,y)\) ,在 \((x_0,y_0)\) 处固定y不变切片移动x,可以得到一个单变量函数 \(g(x)\) ,同理固定x不变可以得到 \(h(y)\) ,可以定义某一个方向的导数

  • 求导时只需将另一个变量当做常数即可。

偏导练习

  • \((x^2+1)(y+2)\)
  • \(\large{\frac{sin^2(\frac3y)+ln(cos ~xy)}{x^5e^y}}\)

偏导数与梯度

  • 梯度: \(\delta f(x,y)= (\frac{\delta f}{\delta x}, \frac{\delta f}{\delta y})\)

  • 函数值上升最快的方向?

    \(f(x + dx, y + dy) \approx f(x, y) + \frac{\delta f}{\delta x}dx+\frac{\delta f}{\delta y}dy\)

  • 单位圆上寻找 \((dx,dy)\) 使得其与梯度的内积最大

  • 显然 \((dx,dy)\) 与梯度共线时增长最快

无约束函数极值

给定多元函数 \(f(x)→R\) ,其中 x 是n维向量,寻找使得函数值最小的向量 x *。

代入偏导数为0的极值条件解方程: \(\delta f(x)=0\)

如: 求 \(min f(x) = (x_1-x_2-2)^2+(x_2-1)^2\)

\[ \delta f(x) = \large\left(^{\frac{\delta f}{\delta x_1}}_{\frac{\delta f}{\delta x_2}}\right)= \left( ^{~~~~~~~~2(x_1-x_2-2)}_{-2(x_1-x_2-2)+2(x_2-1)}\right) = \left(^0_0\right) \]

Part 9: 拉格朗日乘数法

设给定多元函数 \(ƒ(x)\) 和附加条件 \(\phi(x)=0\)x 为向量,为寻找z=ƒ(x)在附加条件下的极值点,构造拉格朗日函数 \(L(x, \lambda)=f(x)+\lambda\phi(x)\)

此时有:

\[ \min_x=\min_x\{\max_{\lambda}L(x, \lambda)\}=\min_x\{\max_{\lambda}f(x)+\lambda\phi(x)\} \]

f( x )为最优的必要条件是拉格朗日函数L梯度为0:

由上述方程组解出 x ,就是函数z=ƒ( x )在附加条件φ( x )=0下可能的极值点。

例:求(x,y,z)使得 \((x-4)^2+y^2+z^2\) 最小,并且 \(x+y+z=3, 2x+y+z=4\)

Part10: 泰勒展开

\[ f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + a_3(x - x_0)^3 + ...\\f(x) \approx f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}}{n!}x^n \]

n趋于正无穷时, 将几乎完全拟合

证明:

\[ f(x) - f(0) = \int_0^{x}f'(x)dx\\f'(x) - f'(0)=\int_0^xf''(x)dx\\f(x) = f(0) + \int_0^{x}f'(x)dx\\= f(0) + \int_0^{x}\left(\int_0^xf''(x)dx + f'(0)\right)dx\\= f(0) + \int_0^{x}\int_0^xf''(x)dx^2 + \int_0^xf'(0)dx\\= f(0) + \int_0^{x}\int_0^xf''(x)dx^2 + \frac{f'(0)}{1!}x \]

将二次导, 三次导等带入即可用数学归纳法证明

常见泰勒展开

欧拉公式: \(e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)\)

可用泰勒展开证明

我来评几句
登录后评论

已发表评论数()

相关站点

热门文章