漫画:什么是红黑树?

2017年,小灰曾经发布过一篇关于红黑树的漫画,当时由于时间仓促,部分知识点一带而过,并没有讲解得很细致全面。

最近,小灰把这个知识点重新做了总结,分成上下两篇,希望大家把红黑树这个重要的数据结构彻底吃透。

—————  第二天  —————

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二叉查找树(BST)具备什么特性呢?

1. 子树上所有结点的值均 小于或等于 它的根结点的值。

2. 子树上所有结点的值均 大于或等于 它的根结点的值。

3.左、右子树也分别为二叉排序树。

下图中这棵树,就是一颗典型的二叉查找树:

1.查看根结点 9

2.根据二叉查找树左子树小、右子树大的特性, 10 > 9 ,因此值为10的结点只可能在根结点的右子树当中,我们查看右孩子结点 13

3.由于 10 < 13 ,因此查看左孩子 11

4.由于 10 < 11 ,因此查看左孩子 10 ,发现10正是要查找的结点:

假设初始的二叉查找树只有三个结点,根结点值为9,左孩子值为8,右孩子值为12:

接下来我们依次插入如下五个结点:7,6,5,4,3。依照二叉查找树的特性,结果会变成什么样呢?

1.结点是红色或黑色。

2.根结点是黑色。

3.每个叶子结点都是黑色的空结点(NIL结点)。

4 每个红色结点的两个子结点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点)

5.从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

下图中这棵树,就是一颗典型的红黑树:

什么情况下会破坏红黑树的规则,什么情况下不会破坏规则呢?我们举两个简单的例子:

1.向原红黑树插入值为 14 的新结点:

由于父结点15是黑色结点,因此这种情况并不会破坏红黑树的规则,无需做任何调整。

2.向原红黑树插入值为 21 的新结点:

由于父结点22是红色结点,因此这种情况打破了红黑树的规则4(每个红色结点的两个子结点都是黑色),必须进行调整,使之重新符合红黑树的规则。

变色:

为了重新符合红黑树的规则,尝试把红色结点变为黑色,或者把黑色结点变为红色。

下图所表示的是红黑树的一部分(子树),新插入的结点Y是红色结点,它的父亲结点X也是红色的,不符合规则4,因此我们可以把结点X从红色变成黑色:

但是,仅仅把一个结点变色,会导致相关路径凭空多出一个黑色结点,这样就打破了规则5。因此,我们需要对其他结点做进一步的调整,后文会详细说明。

左旋转:

逆时针 旋转红黑树的两个结点,使得父结点被自己的右孩子取代,而自己成为自己的左孩子。说起来很怪异,大家看下图:

图中,身为右孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转:

顺时针 旋转红黑树的两个结点,使得父结点被自己的左孩子取代,而自己成为自己的右孩子。大家看下图:

图中,身为左孩子的Y取代了X的位置,而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。

局面1: 新结点(A)位于树根,没有父结点。

(空心三角形代表结点下面的子树)

这种局面,直接让新结点变色为黑色,规则2得到满足。同时,黑色的根结点使得每条路径上的黑色结点数目都增加了1,所以并没有打破规则5。

局面2: 新结点(B)的父结点是黑色。

这种局面,新插入的红色结点B并没有打破红黑树的规则,所以不需要做任何调整。

局面3: 新结点(D)的父结点和叔叔结点都是红色。

这种局面,两个红色结点B和D连续,违反了规则4。因此我们先让结点B变为黑色:

这样一来,结点B所在路径凭空多了一个黑色结点,打破了规则5。因此我们让结点A变为红色:

这时候,结点A和C又成为了连续的红色结点,我们再让结点C变为黑色:

经过上面的调整,这一局部重新符合了红黑树的规则。

局面4: 新结点(D)的父结点是红色,叔叔结点是黑色或者没有叔叔,且新结点是父结点的右孩子,父结点(B)是祖父结点的左孩子。

我们以结点B为轴,做一次左旋转,使得新结点D成为父结点,原来的父结点B成为D的左孩子:

这样一来,进入了局面5。

局面5: 新结点(D)的父结点是红色,叔叔结点是黑色或者没有叔叔,且新结点是父结点的左孩子,父结点(B)是祖父结点的左孩子。

我们以结点A为轴,做一次右旋转,使得结点B成为祖父结点,结点A成为结点B的右孩子:

接下来,我们让结点B变为黑色,结点A变为红色:

经过上面的调整,这一局部重新符合了红黑树的规则。

以上就是红黑树插入操作所涉及的5种局面。

或许有人会问,如果局面4和局面5当中的父结点B是祖父结点A的右孩子该怎么办呢?

很简单,如果局面4中的父结点B是右孩子,则成为了局面5的镜像,原本的右旋操作改为左旋;如果 局面5中的父结点B是右孩子,则成为了局面4的镜像,原本的左旋操作改为右旋。

给定下面这颗红黑树,新插入的结点是21:

显然,新结点21和它的父结点22是连续的红色结点,违背了规则4,我们应该如何调整呢?

让我们回顾一下刚才讲的5种局面,当前的情况符合局面3:

结点的父结点和叔叔结点都是红色

于是我们经过三次变色,22变为黑色,25变为红色,27变为黑色:

经过上面的调整,以结点25为根的子树符合了红黑树规则,但结点25和结点17成为了连续的红色结点,违背规则4。

于是,我们把结点25看做一个新结点,正好符合局面5的镜像:

“新结点的父结点是红色,叔叔结点是黑色或者没有叔叔,且新结点是父结点的右孩子,父结点是祖父结点的右孩子”

于是我们以根结点13为轴进行左旋转,使得结点17成为了新的根结点:

接下来,让结点17变为黑色,结点13变为红色:

如此一来,我们的红黑树变得重新符合规则。

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