[ch04-03] 用神经网络解决线性回归问题

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4.3 神经网络法

在梯度下降法中,我们简单讲述了一下神经网络做线性拟合的原理,即:

  1. 初始化权重值
  2. 根据权重值放出一个解
  3. 根据均方差函数求误差
  4. 误差反向传播给线性计算部分以调整权重值
  5. 是否满足终止条件?不满足的话跳回2

一个不恰当的比喻就是穿糖葫芦:桌子上放了一溜儿12个红果,给你一个足够长的竹签子,选定一个角度,在不移动红果的前提下,想办法用竹签子穿起最多的红果。

最开始你可能会任意选一个方向,用竹签子比划一下,数数能穿到几个红果,发现是5个;然后调整一下竹签子在桌面上的水平角度,发现能穿到6个......最终你找到了能穿10个红果的的角度。

4.3.1 定义神经网络结构

我们是首次尝试建立神经网络,先用一个最简单的单层单点神经元,如图4-4所示。

图4-4 单层单点神经元

下面,我们用这个最简单的线性回归的例子,来说明神经网络中最重要的反向传播和梯度下降的概念、过程以及代码实现。

输入层

此神经元在输入层只接受一个输入特征,经过参数w,b的计算后,直接输出结果。这样一个简单的“网络”,只能解决简单的一元线性回归问题,而且由于是线性的,我们不需要定义激活函数,这就大大简化了程序,而且便于大家循序渐进地理解各种知识点。

严格来说输入层在神经网络中并不能称为一个层。

权重w/b

因为是一元线性问题,所以w/b都是一个标量。

输出层

输出层1个神经元,线性预测公式是:

\[z_i = x_i \cdot w + b\]

z是模型的预测输出,y是实际的样本标签值,下标 \(i\) 为样本。

损失函数

因为是线性回归问题,所以损失函数使用均方差函数。

\[loss(w,b) = \frac{1}{2} (z_i-y_i)^2\]

4.3.2 反向传播

由于我们使用了和上一节中的梯度下降法同样的数学原理,所以反向传播的算法也是一样的,细节请查看4.2.2。

计算w的梯度

\[ {\partial{loss} \over \partial{w}} = \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}}\frac{\partial{z_i}}{\partial{w}}=(z_i-y_i)x_i \]

计算b的梯度

\[ \frac{\partial{loss}}{\partial{b}} = \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}}\frac{\partial{z_i}}{\partial{b}}=z_i-y_i \]

为了简化问题,在本小节中,反向传播使用单样本方式,在下一小节中,我们将介绍多样本方式。

4.3.3 代码实现

其实神经网络法和梯度下降法在本质上是一样的,只不过神经网络法使用一个崭新的编程模型,即以神经元为中心的代码结构设计,这样便于以后的功能扩充。

在Python中可以使用面向对象的技术,通过创建一个类来描述神经网络的属性和行为,下面我们将会创建一个叫做NeuralNet的class,然后通过逐步向此类中添加方法,来实现神经网络的训练和推理过程。

定义类

class NeuralNet(object):
    def __init__(self, eta):
        self.eta = eta
        self.w = 0
        self.b = 0

NeuralNet类从object类派生,并具有初始化函数,其参数是eta,也就是学习率,需要调用者指定。另外两个成员变量是w和b,初始化为0。

前向计算

def __forward(self, x):
        z = x * self.w + self.b
        return z

这是一个私有方法,所以前面有两个下划线,只在NeuralNet类中被调用,不对外公开。

反向传播

下面的代码是通过梯度下降法中的公式推导而得的,也设计成私有方法:

def __backward(self, x,y,z):
        dz = z - y
        db = dz
        dw = x * dz
        return dw, db

dz是中间变量,避免重复计算。dz又可以写成delta_Z,是当前层神经网络的反向误差输入。

梯度更新

def __update(self, dw, db):
        self.w = self.w - self.eta * dw
        self.b = self.b - self.eta * db

每次更新好新的w和b的值以后,直接存储在成员变量中,方便下次迭代时直接使用,不需要在全局范围当作参数内传来传去的。

训练过程

只训练一轮的算法是:

for 循环,直到所有样本数据使用完毕:

  1. 读取一个样本数据
  2. 前向计算
  3. 反向传播
  4. 更新梯度
def train(self, dataReader):
        for i in range(dataReader.num_train):
            # get x and y value for one sample
            x,y = dataReader.GetSingleTrainSample(i)
            # get z from x,y
            z = self.__forward(x)
            # calculate gradient of w and b
            dw, db = self.__backward(x, y, z)
            # update w,b
            self.__update(dw, db)
        # end for

推理预测

def inference(self, x):
        return self.__forward(x)

推理过程,实际上就是一个前向计算过程,我们把它单独拿出来,方便对外接口的设计,所以这个方法被设计成了公开的方法。

主程序

if __name__ == '__main__':
    # read data
    sdr = SimpleDataReader()
    sdr.ReadData()
    # create net
    eta = 0.1
    net = NeuralNet(eta)
    net.train(sdr)
    # result
    print("w=%f,b=%f" %(net.w, net.b))
    # predication
    result = net.inference(0.346)
    print("result=", result)
    ShowResult(net, sdr)

4.3.4 运行结果可视化

打印输出结果:

w=1.716290,b=3.196841
result= [3.79067723]

最终我们得到了W和B的值,对应的直线方程是 \(y=1.71629x+3.196841\) 。推理预测时,已知有346台服务器,先要除以1000,因为横坐标是以K(千台)服务器为单位的,代入前向计算函数,得到的结果是3.74千瓦。

结果显示函数:

def ShowResult(net, dataReader):
    ......

对于初学神经网络的人来说,可视化的训练过程及结果,可以极大地帮助理解神经网络的原理,Python的Matplotlib库提供了非常丰富的绘图功能。

在上面的函数中,先获得所有样本点数据,把它们绘制出来。然后在[0,1]之间等距设定10个点做为x值,用x值通过网络推理方法net.inference()获得每个点的y值,最后把这些点连起来,就可以画出图4-5中的拟合直线。

图4-5 拟合效果

可以看到红色直线虽然穿过了蓝色点阵,但是好像不是处于正中央的位置,应该再逆时针旋转几度才会达到最佳的位置。我们后面小节中会讲到如何提高训练结果的精度问题。

4.3.5 工作原理

就单纯地看待这个线性回归问题,其原理就是先假设样本点是呈线性分布的,注意这里的线性有可能是高维空间的,而不仅仅是二维平面上的。但是高维空间人类无法想象,所以我们不妨用二维平面上的问题来举例。

在4.2的梯度下降法中,首先假设这个问题是个线性问题,因而有了公式 \(z=xw+b\) ,用梯度下降的方式求解最佳的 \(w、b\) 的值。

在本节中,用神经元的编程模型把梯度下降法包装了一下,这样就进入了神经网络的世界,从而可以有成熟的方法论可以解决更复杂的问题,比如多个神经元协同工作、多层神经网络的协同工作等等。

如图4-5所示,样本点摆在那里,位置都是固定的了,神经网络的任务就是找到一根直线(注意我们首先假设这是线性问题),让该直线穿过样本点阵,并且所有样本点到该直线的距离的平方的和最小。

可以想象成每一个样本点都有一根橡皮筋连接到直线上,连接点距离该样本点最近,所有的橡皮筋形成一个合力,不断地调整该直线的位置。该合力具备两种调节方式:

  1. 如果上方的拉力大一些,直线就会向上平移一些,这相当于调节b值;
  2. 如果侧方的拉力大一些,直线就会向侧方旋转一些,这相当于调节w值。

直到该直线处于平衡位置时,也就是线性拟合的最佳位置了。

如果样本点不是呈线性分布的,可以用直线拟合吗?

答案是“可以的”,只是最终的效果不太理想,误差可以做到在线性条件下的最小,但是误差值本身还是比较大的。比如一个半圆形的样本点阵,用直线拟合可以达到误差值最小为1.2(不妨假设这个值的单位是厘米),已经尽力了但能力有限。如果用弧线去拟合,可以达到误差值最小为0.3。

所以,当使用线性回归的效果不好时,即判断出一个问题不是线性问题时,我们会用第9章的方法来解决。

代码位置

ch04, Level3

思考和练习

  1. 请把上述代码中的dw和db也改成私有属性,然后试着运行程序。
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