【网络流相关】最大流的Dinic算法实现

Luogu P3376

\(EK\) 算法求最大流时每一次只求一条增广路,时间复杂度会比较高。尽管实际应用中表现比较优秀,但是有一些题目还是无法通过。

那么我们就会使用 \(Dinic\) 算法实现多路增广。

算法的基本流程如下:

  1. \(BFS\) 对图进行分层,求出终点所在的层数
  2. \(DFS\) 对每一条增广路的信息进行更新

仅仅这样看,虽然一次 \(BFS\) 能找到多条最短增广路,但是信息的更新仍然是逐条增广路进行更新,效率上并没有太大变化。

所以我们需要下面的两个优化:

  • 记录起点到节点 \(P\) 的流 \(flow\) 和节点 \(P\) 到终点的流 \(used\) 。若 \(flow=used\) ,则不必再进行之后的 \(DFS\) 了,可以直接回溯。
  • 使用一个 \(cur\) 数组复制链式前向星的 \(head\) 数组,在 \(DFS\) 时, \(cur\) 数组记录当前处理的边的编号。下次 \(DFS\) 到这个节点时,可以直接从 \(cur\) 数组记录的那条边开始。

第二个优化我们称之为 当前弧优化

原理:每一条已经处理完毕的边,必然不能再容纳下更多的流了。

\(Dinic\) 的时间复杂度是 \(O(n^2m)\) 。对于二分图匹配问题, \(Dinic\) 的时间复杂度是 \(O(m\sqrt n)\)

结合代码进行理解

#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,num,cnt,u,v,head[20005],cur[20005],dis[20005],ans;
bool vis[20005];
struct data
{
    int to,next,val;
}e[5000005];
void add(int u,int v,int val)
{
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
    e[cnt].val=val;
}
bool bfs(int s,int t)
{
    queue<int> que;
    que.push(s);
    for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0,vis[i]=false,cur[i]=head[i];
    vis[s]=true;
    dis[s]=1;
    while (!que.empty())
    {
        int now=que.front();
        que.pop();
        for (int i=head[now];i;i=e[i].next)
        {
            v=e[i].to;
            if (!vis[v]&&e[i].val>0)
            {
                dis[v]=dis[now]+1;
                vis[v]=true;
                if (v==t) return true;
                que.push(v);
            }
        }
    }
    return false;
}
int dfs(int now,int t,int flow)
{
    if (!flow||now==t) return flow;
    int used=0;
    for (int i=cur[now];i;i=e[i].next)
    {
        cur[now]=i;//当前弧优化
        v=e[i].to;
        if (dis[now]+1!=dis[v]) continue;
        int tmp=dfs(v,t,min(flow-used,e[i].val));
        if (tmp)
        {
            e[i].val-=tmp;
            e[i^1].val+=tmp;
            used+=tmp;
            if (flow-used==0) return flow;
        }
    }
    return used;
}
void Dinic(int s,int t)
{
    while (bfs(s,t)) ans+=dfs(s,t,0x7fffffff);
}
int main()
{
    int s,t,w;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    cnt=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
        add(v,u,0);
    }
    Dinic(s,t);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
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