浅谈神经网络中的激活函数

激活函数是神经网络中一个重要的环节,本文将介绍为什么神经网络网络要利用激活函数,几种常用的激活函数(逻辑函数Sigmoid、双曲正切函数tanh、线性整流函数(ReLU),神经网络中的梯度消失问题和ReLU如何避免梯度消失。

1 用激活函数的原因

如果神经网络没有进行可以提取非线性特征的卷积操作,而且该神经网络也不用激活函数,那么这个神经网络第i层输出只有Wxi+b。这样此神经网络不论有多少层,第i层的输出都是一个关于第i层输入xi的线性组合,相当于此时多层神经网络退化为一个多层的线性回归模型,难以学习如图像、音频、文本等复杂数据的特征。

正因为这个原因,神经网络要引入激活函数来给神经网络增加一些非线性的特性,所以目前常见的激活函数大多是非线性函数。这样神经网络中下一层得到的输入不再是线性组合了。

2 常见的激活函数

2.1 逻辑函数Sigmoid [1]

逻辑函数(logistic function)或逻辑曲线(logistic curve)是一种常见的S函数,它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。

一个简单的Logistic函数表达式为:

\[ f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}} \]

图1 标准逻辑函数的图像

逻辑函数形如S,所以通常也叫做S形函数。

从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是(0,1)

对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)\]

2.2 双曲正切函数tanh [2]

双曲正切函数是双曲函数的一种。在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲正切函数的定义为

\[f\left( x \right) = \tanh \left( x \right) = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\]

图2 双曲正切函数的图像(同逻辑函数类似)

从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是(-1,1)

对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} \right)^\prime } = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; = 1 - f{\left( x \right)^2}\]

2.3 线性整流函数ReLU [3]

线性整流函数(Rectified Linear Unit, ReLU),又称修正线性单元, 是一种人工神经网络中常用的激活函数,通常指代以斜坡函数及其变种为代表的非线性函数。

通常意义下,线性整流函数指代数学中的斜坡函数,即

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]

图3 ReLU函数图像

从函数图像易知f(x)的定义域为[-∞, +∞], 值域是[0, +∞)

对f(x)求导数,易得

\[f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad \quad x \ge 0 \\ 0\quad \quad x < 0 \\ \end{array} \right.\]

3 梯度消失问题和ReLU如何处理此问题

使用S形函数作为激活的神经网络中,随着神经网络的层数增加,神经网络后面层在梯度下降中求导的梯度几乎为0,从而导致神经网络网络后面层的权值矩阵几乎无法更新。表现为随着隐藏层数目的增加,分类准确率反而下降了。这种现象叫做消失的梯度问题。

假设神经网络只有三层,用S型函数作为激活函数

第一层输入为x, 输出为S(W1x+b1)

第二层输入为S(W1x+b1),输出为S(W2S(W1x+b1)+b2)

第三层输入为S(W2S(W1x+b1)+b2),输出为S(W3S(W2S(W1x+b1)+b2)+b3)

同时简记住每层在激活函数处理前的值为ai, 输出为fi

假设最后损失函数为L,L是一个关于f3的函数,那么求导易得

\[\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial {W_1}}} = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot \frac{{\partial {W_3}S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right) + {b_3}}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S\left( {{W_2}S\left( {{W_1}x + {b_1}} \right) + {b_2}} \right)}}{{\partial {W_1}}} \\ \quad \quad = \cdots \\ \quad \quad = \frac{{\partial L}}{{\partial {f_3}}} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}} \cdot {W_3} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}} \cdot {W_2} \cdot \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \cdot \frac{{\partial {a_1}}}{{\partial {W_1}}} \\ \end{array}\]

其中偏导数∂S/ ∂ai是造成梯度消失的原因,因为S函数的导数阈值为

\[f'\left( x \right) = \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\;\; \in \left( {0,\left. {\frac{1}{4}} \right]} \right.\]

即有0<∂S/ ∂a1≤0.25, 0<∂S/ ∂a2≤0.25, 0<∂S/ ∂3≤0.25, 在损失函数偏导表达式中三个偏导数相乘有:

\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_3}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_2}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le 0.015625\]

这样会减小损失函数的数值,如果神经网络是20层,则有

\[0 < \frac{{\partial S}}{{\partial {a_{20}}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {a_{19}}}} \cdots \frac{{\partial S}}{{\partial {a_1}}} \le {0.25^{20}} = {\rm{9}}.0{\rm{94}} \times {10^{ - 13}}\]

这是一个更小的数,所以神经网络后几层求第一层参数W1的梯度就非常小。而ReLU函数就是为了避免梯度消失问题,因为ReLU求导只有两个值1或0,这样的话只要神经网络梯度中一条路径上的导数都是1,那么无论网络有多少层,网络后几层的梯度都可以传播到网络前几层。

参考资料

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Rectifier_(neural_networks)
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