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第二讲-三位空间刚体运动

点与坐标系:

基础概念:

  • 坐标系:左手系和右手系。右手系更常用。定义坐标系时,会定义世界坐标系,相机坐标系,以及其他关心对象的坐标系。空间中任意一点可由空间的基的线性表出。

  • 加减法:用坐标描述更方便。

  • 内积:点乘得数,即

  • 外积:叉乘得向量,即 右手系下,得到按照右手定则获取的向量。

  • 坐标系间的变换: 通过平移(向量的加减)和旋转(有多种描述方式,见下)

  • 2D情况:二维坐标点表示位置+一个旋转角表示朝向。

  • 3D情况:三维坐标点表示位置+一个旋转角(角度间的变换使用旋转,旋转方式有多种,见下)。

旋转矩阵:(描述旋转的第一种方式)

坐标系 (e_1,e_2,e_3) 经过旋转变成 (e'_1,e'_2,e'_3) ,在三维空间中,向量 a 保持不动,那么如何表出它在 (e'_1,e'_2,e'_3) 下的坐标:

  1. 线性表出法向量 a 坐标:两坐标系实质是分别用两组不同的基去表示同一个点,则两者的线性组合是相等的:
  2. 左右两边同时左乘 (e_1,e_2,e_3) 的转置,得到:
  • R即为 旋转矩阵
  • 性质:
    • R是一个正交矩阵(矩阵的逆即矩阵的转置,或转置×本身即为一个单位矩阵)。
    • R的行列式值为1。
  • 满足上述性质的矩阵都可以称为 旋转矩阵 ,使用集合表示: ,又称特殊正交群SO(3)。
  • 固定表示方式(下标顺序): 且满足矩阵关系:

因此,空间中不同坐标系下点坐标的变换可以使用: 即旋转+平移的形式完全描述

  • 理论依据:欧拉定理,刚体在三维空间中的一般运动,可分解为刚体上方某一点的平移,以及绕经过此点的旋转轴的转动。

但是,这种表示方式在多次进行变换时会有不便( ),因此使用增广的方式进行表示:

  • 其中, 称为变换矩阵, 的形式称为齐次坐标。
  • 齐次坐标性质:齐次坐标乘上任意非0常数时仍表达同一坐标
  • 变换矩阵的集合:称为特殊欧式群SE(3):

旋转向量和欧拉角:

旋转矩阵在实际中更常用,但这些概念也是需要清楚的。

旋转矩阵R是一个3×3的矩阵,有九个元素,但仅有三个自由度,也就是存在描述方式上的冗余,那么能否以更少的元素表达旋转?

刚体旋转存在一个转轴(向量),还有转过的角度,于是想用 角度乘以向量 (单位化过后)的形式去描述旋转。

旋转向量

  • 一个向量,方向为旋转轴方向,长度为转过的角度。(单位向量乘角度大小)

  • 又称角轴/轴角。

  • 罗德里格斯公式可以将旋转向量( n ,theta)转换成旋转矩阵R:

  • 旋转矩阵R也可以转换成旋转向量( n ,theta): n 是特征向量。

欧拉角

  • 将旋转分解成三个方向上的转动,常用顺序为yaw-pitch-roll(也就是绕Z-Y-X方式转,注意 ,不同地方在绕Z转之后,所绕的Y轴可能是原来的Y轴,也可能是转动后的Y轴)
  • 万向锁(Gimbal Lock):欧拉角存在奇异性(特定值下,旋转的自由度减1)
  • 在pitch方向旋转完毕后,roll方向旋转和yaw方向旋转是重合的。由此,欧拉角不适合插值或迭代,故不常用。

四元数:

吸取了旋转矩阵和旋转向量、欧拉角的优点,是一种优秀的描述方式。

  • 2D情况下,可以用单位复数表达旋转:

\[z=x+iy=\rho e^{i\theta} \]

  • 用z乘以i,相当于旋转了90度( ),乘-i转动-90度。

在三维情况下,四元数可作为扩充定义的复数

  • 特点1:有三个虚部+一个实部

  • 特点2:虚部之间存在关系:

  • 单位四元数可以表达三维空间的旋转:

  • 四元数也能定义很多运算:

  • 四元数转换成旋转向量:

  • 旋转向量转换成四元数:

  • 用四元数表示旋转:

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