从EMD、WMD到WRD:文本向量序列的相似度计算

©PaperWeekly 原创 · 作者|苏剑林

单位|追一科技

研究方向|NLP、神经网络

在 NLP 中,我们经常要去比较两个句子的相似度,其标准方法是想办法将句子编码为固定大小的向量,然后用某种几何距离(欧氏距离、cos 距离等)作为相似度。这种方案相对来说比较简单,而且检索起来比较快速,一定程度上能满足工程需求。

此外,还可以直接比较两个变长序列的差异性,比如编辑距离,它通过动态规划找出两个字符串之间的最优映射,然后算不匹配程度;现在我们还有 Word2Vec、BERT 等工具,可以将文本序列转换为对应的向量序列,所以也可以 直接比较这两个向量序列的差异 ,而不是先将向量序列弄成单个向量。

后一种方案速度相对慢一点,但可以比较得更精细一些,并且理论比较优雅,所以也有一定的应用场景。本文就来简单介绍一下属于后者的两个相似度指标,分别简称为 WMD、WRD。

Earth Mover's Distance

本文要介绍的两个指标都是以  Wasserstein 距离 为基础,这里会先对它做一个简单的介绍,相关内容也可以阅读笔者旧作从 Wasserstein 距离、对偶理论到WGAN

Wasserstein 距离也被形象地称之为 “推土机距离”(Earth Mover's Distance,EMD) ,因为它可以用一个“推土”的例子来通俗地表达它的含义。

1.1 最优传输

假设在位置处我们分布有那么多的土,简单起见我们设土的总数量为 1,即,现在要将土推到位置上,每处的量为,而从 i 推到 j 的成本为,求成本最低的方案以及对应的最低成本。

这其实就是一个经典的最优传输问题。 我们将最优方案表示为 ,表示这个方案中要从 i 中把 数量的土推到 j 处,很明显我们有约束:

所以我们的优化问题是:

1.2 参考实现

看上去复杂,但认真观察下就能发现上式其实就是一个 线性规划问题 ——在线性约束下求线性函数的极值。而 scipy 就自带了线性规划求解函数 linprog ,因此我们可以利用它实现求 Wasserstein 距离的函数:

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

def wasserstein_distance(p, q, D):
    """通过线性规划求Wasserstein距离
    p.shape=[m], q.shape=[n], D.shape=[m, n]
    p.sum()=1, q.sum()=1, p∈[0,1], q∈[0,1]
    """
    A_eq = []
    for i in range(len(p)):
        A = np.zeros_like(D)
        A[i, :] = 1
        A_eq.append(A.reshape(-1))
    for i in range(len(q)):
        A = np.zeros_like(D)
        A[:, i] = 1
        A_eq.append(A.reshape(-1))
    A_eq = np.array(A_eq)
    b_eq = np.concatenate([p, q])
    D = D.reshape(-1)
    result = linprog(D, A_eq=A_eq[:-1], b_eq=b_eq[:-1])
    return result.fun

读者可以留意到,在传入约束的时候用的是 A_eq=A_eq[:-1], b_eq=b_eq[:-1] ,也就是去掉了最后一个约束。

这是因为,所以(1)中的等式约束本身存在冗余,而实际计算中有时候可能存在浮点误差,导致冗余的约束之间相互矛盾,从而使得线性规划的求解失败,所以干脆去掉最后一个冗余的约束,减少出错的可能性。

Word Mover's Distance

很明显,Wasserstein 距离适合于用来计算两个不同长度的序列的差异性,而我们要做语义相似度的时候,两个句子通常也是不同长度的,刚好对应这个特性,因此很自然地就会联想到 Wasserstein 距离也许可以用来比较句子相似度,而首次进行这个尝试的是论文 From Word Embeddings To Document Distances [1]  

2.1 基本形式

设有两个句子,经过某种映射(比如  Word2Vec 或者 BERT)后,它们变成了对应的向量序列,现在我们就想办法用 Wasserstein 距离来比较这两个序列的相似度。

根据前一节的介绍,Wasserstein 距离需要知道三个量,我们逐一把它们都定义好即可。

由于没有什么先验知识,所以我们可以很朴素地将让,所以现在还剩。显然,代表着第一个序列的向量与第二个序列的向量的某种差异性,简单起见我们可以用欧氏距离,所以两个句子的差异程度可以表示为:

这便是  Word Mover's Distance(WMD)(推词机距离) ,大概可以理解为将一个句子变为另一个句子的最短路径,某种意义上也可以理解为编辑距离的光滑版。实际使用的时候,通常会去掉停用词后再计算 WMD。

▲ Word Mover's Distance 的示意图,来自论文 From Word Embeddings To Document Distances

2.2 参考实现

参考实现如下:

def word_mover_distance(x, y):
    """WMD(Word Mover's Distance)的参考实现
    x.shape=[m,d], y.shape=[n,d]
    """
    p = np.ones(x.shape[0]) / x.shape[0]
    q = np.ones(y.shape[0]) / y.shape[0]
    D = np.sqrt(np.square(x[:, None] - y[None, :]).mean(axis=2))
    return wasserstein_distance(p, q, D)

2.3 下界公式

如果是检索场景,要将输入句子跟数据库里边所有句子一一算 WMD 并排序的话,那计算成本是相当大的,所以我们要尽量减少算 WMD 的次数,比如通过一些更简单高效的指标来过滤掉一些样本,然后才对剩下的样本算 WMD。

幸运的是,我们确实可以推导出 WMD 的一个下界公式,原论文称之为  Word Centroid Distance (WCD)

也就是说,WMD 大于两个句子的平均向量的欧氏距离,所以我们要检索 WMD 比较小的句子时,可以先用 WCD 把距离比较大的句子先过滤掉,然后剩下的采用  WMD 比较。

Word Rotator's Distance

WMD 其实已经挺不错了,但非要鸡蛋里挑骨头的话,还是能挑出一些缺点来:

  1. 它使用的是欧氏距离作为语义差距度量,但从 Word2Vec 的经验我们就知道要算词向量的相似度的话,用往往比欧氏距离要好;

  2. WMD 理论上是一个无上界的量,这意味着我们不大好直观感知相似程度,从而不能很好调整相似与否的阈值。

为了解决这两个问题,一个比较朴素的想法是将所有向量除以各自的模长来归一化后再算 WMD,但这样就完全失去了模长信息了。

最近的论文 Word Rotator's Distance: Decomposing Vectors Gives Better Representations [2]   则巧妙地提出,在归一化的同时可以把模长融入到约束条件 p,q 里边去,这就形成了  WRD。

3.1 基本形式

首先,WRD 提出了 “词向量的模长正相关于这个词的重要程度” 的观点,并通过一些实验结果验证了这个观点。事实上,这个观点跟笔者之前提出的 simpler glove 模型的观点一致,参考《更别致的词向量模型(五):有趣的结果》 [3]

而在 WMD 中,某种意义上也代表着对应句子中某个词的重要程度,所以我们可以设:

然后就用余弦距离:

得到:

这就是 Word Rotator's Distance (WRD) 了。由于使用的度量是余弦距离,所以两个向量之间的变换更像是一种旋转(rotate)而不是移动(move),所以有了这个命名;同样由于使用了余弦距离,所以它的结果在 [-1,1] 内,相对来说更容易去感知其相似程度。

3.2 参考实现

参考实现如下:

def word_rotator_distance(x, y):
    """WRD(Word Rotator's Distance)的参考实现
    x.shape=[m,d], y.shape=[n,d]
    """
    x_norm = (x**2).sum(axis=1, keepdims=True)**0.5
    y_norm = (y**2).sum(axis=1, keepdims=True)**0.5
    p = x_norm[:, 0] / x_norm.sum()
    q = y_norm[:, 0] / y_norm.sum()
    D = 1 - np.dot(x / x_norm, (y / y_norm).T)
    return wasserstein_distance(p, q, D)


def word_rotator_similarity(x, y):
    """1 - WRD
    x.shape=[m,d], y.shape=[n,d]
    """
    return 1 - word_rotator_distance(x, y)

3.3 下界公式

同 WMD 一样,我们也可以推导出 WRD 的一个下界公式:

不过这部分内容并没有出现在 WRD 的论文中,只是笔者自行补充的。

小结

文本介绍了两种文本相似度算法 WMD、WRD,它们都是利用 Wasserstein 距离(Earth Mover's Distance,推土机距离)来直接比较两个不定长向量的差异性。这类相似度算法在效率上会有所欠缺,但是理论上比较优雅,而且效果也颇为不错,值得学习一番。

参考链接

[1] http://proceedings.mlr.press/v37/kusnerb15.html

[2] https://arxiv.org/abs/2004.15003

[ 3 ] https://kexue.fm/archives/4677

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